童鞋們好，函數在每年的高考題中都是必考題，今天帶來一道函數題，大傢來看看吧~
已知函數（a＞0）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．
先自己思考
本題考點
利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．
題目分析
（Ⅰ）求出函數的導數，計算f（2），f′（2）的值，代入切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，確定函數的單調性即可；
（Ⅲ）問題等價於
在[1，+∞）上恒成立，令
，根據函數的單調性求出a的范圍即可
題目解析
解：（Ⅰ）當 a=1，
，
時，
所以，函數f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為
即：5x﹣4y﹣4=0…
Ⅱ）函數的定義域為：{x|x≠0}…
當0＜a≤2時，f′（x）≥0恒成立，
所以，f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上單調遞增
當a＞2時，令f′（x）=0，
即：ax2+2﹣a=0，
f′（x）＞0，x＞x2或x＜x1；
f′（x）＜0，x1＜x＜0或0＜x＜x2，
所以，f（x）單調遞增區間為
單調減區間為
（Ⅲ）因為f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，
則
令g′（x）=0，則
若
，即a=1時，g′（x）≥0，
函數g（x）在[1，+∞）上單調遞增，又g（1）=0，
所以，f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立；
若
，即a＜1時，當
，
g′（x）＞0，g（x）單調遞增；
本題點評
函數問題路子都一樣，最重要的同學們要學會綜合，將各類函數的單調性、最值等綜合起來解題。