高考倒計時 | 每日一道高考題,助力高考得高分(8)

童鞋們好,函數在每年的高考題中都是必考題,今天帶來一道函數題,大傢來看看吧~

已知函數(a>0).

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(Ⅰ)當a=1時,求函數f(x)在點(2,f(2))處的切線方程;

(Ⅱ)求函數f(x)的單調區間;

(Ⅲ)若f(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.

先自己思考

本題考點

利用導數求閉區間上函數的最值;利用導數研究函數的單調性.

題目分析

(Ⅰ)求出函數的導數,計算f(2),f′(2)的值,代入切線方程即可;

(Ⅱ)求出函數的導數,通過討論a的范圍,確定函數的單調性即可;

(Ⅲ)問題等價於

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在[1,+∞)上恒成立,令

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,根據函數的單調性求出a的范圍即可

題目解析

解:(Ⅰ)當 a=1,

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時,

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所以,函數f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為

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即:5x﹣4y﹣4=0…

Ⅱ)函數的定義域為:{x|x≠0}…

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當0<a≤2時,f′(x)≥0恒成立,

所以,f(x)在(﹣∞,0)和(0,+∞)上單調遞增

當a>2時,令f′(x)=0,

即:ax2+2﹣a=0,

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f′(x)>0,x>x2或x<x1;

f′(x)<0,x1<x<0或0<x<x2,

所以,f(x)單調遞增區間為

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單調減區間為

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(Ⅲ)因為f(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立,

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令g′(x)=0,則

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,即a=1時,g′(x)≥0,

函數g(x)在[1,+∞)上單調遞增,又g(1)=0,

所以,f(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立;

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,即a<1時,當

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g′(x)>0,g(x)單調遞增;

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本題點評

函數問題路子都一樣,最重要的同學們要學會綜合,將各類函數的單調性、最值等綜合起來解題。

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